数矩形

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Description

最近某歌手在研究自己的全国巡回演出，他将所有心仪的城市都用平面上一个点来表示，并打算从中挑选出4个城市作为这次巡回演出的地点。
　　为了显示自己与众不同，他要求存在一个矩形使得挑选出的4个点恰好是这个矩形的4个顶点，并且希望这个矩形的面积最大。
　　这可急坏了经纪人，于是他向全球歌迷征集方案，当然你这位歌迷一定不会错过这个机会。

Input

第一行是一个正整数N，表示平面上点的个数（即某歌手心仪的城市数）。
　　接下来N行，每行是两个整数Xi,Yi，表示对应点的坐标。

Output

输出一个数，表示最大矩形面积。

Sample Input

8
　　-2 3
　　-2 -1
　　0 3
　　0 -1
　　1 -1
　　2 1
　　-3 1
　　-2 1

Sample Output

10

HINT

1<=N<=1500 , -10^8<=Xi,Yi<=10^8

Main idea

给出平面上的若干个点，求出可由这些点作为顶点构成的矩形的最大面积。

Solution

显然是一道计算几何题。
　　先考虑矩形的特征：对角线长度相同并且对角线的中点在同一位置。
　　然后我们可以n^2枚举出所有对角线的长度并且求出其中点位置，按照长度为第一关键字，中点坐标为第二关键字sort一遍，那么显然可构成矩形的四个点的对角线一定是连续的。
　　然后我们枚举所有情况，用矢量叉积来求矩形的面积。
　　**证明一下复杂度：**发现最坏情况应该是所有的中点聚集在同一个点上，以其作为圆心，对角线长度作为直径拓展出成为一个圆，这样的话会有1500/2条长度相同的需要枚举的边，但是由于这是一个圆，所以两点连线不作为直径的构成的边几乎都是不需要枚举的，复杂度正确。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int ONE=1505;

int n;
int cnt,num;
int l[ONE*ONE],r[ONE*ONE];
long long Ans;

struct power
{
    long long x,y;
}a[ONE];

struct point
{
    long long dist;
    int i,j;
    power mid;
}b[ONE*ONE];

int cmp(const point &a,const point &b)
{
    if(a.dist<b.dist) return 1;
    if(a.dist>b.dist) return 0;
    if(a.dist==b.dist)
    {
        if(a.mid.x<b.mid.x) return 1;
        if(a.mid.y<b.mid.y) return 1;
    }
    return 0;
}

int get()
{
    int res,Q=1;    char c;
    while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
    if(Q) res=c-48;
    while((c=getchar())>=48 && c<=57)
        res=res*10+c-48;
    return res*Q;
}

long long Get_dist(power a,power b)
{
    return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}

long long Get_area(power a1,power a2,power b1,power b2)
{
    long long x1=a2.x-a1.x, y1=a2.y-a1.y;
    long long x2=b2.x-b1.x, y2=b2.y-b1.y;
    return abs( (x1*y2)-(x2*y1) );
}



void Deal()
{
    for(int k=1;k<=num;k++)
    {
        if(l[k]==r[k]) continue;
        for(int i=l[k];i<=r[k];i++)
            for(int j=i+1;j<=r[k];j++)
            {
                Ans=max(Ans,Get_area( a[b[i].i],a[b[i].j] , a[b[j].i],a[b[j].j]) );
            }
    }
}

int main()
{
    n=get();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].x=get();   a[i].y=get();
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            b[++cnt].dist=Get_dist(a[i],a[j]);
            b[cnt].mid.x=(a[i].x+a[j].x);
            b[cnt].mid.y=(a[i].y+a[j].y);
            b[cnt].i=i; b[cnt].j=j;
        }

    sort(b+1,b+cnt+1,cmp);

    int i=0;

    while(i<=cnt)
    {
        i++;
        l[++num]=i;
        while(b[i].dist==b[i+1].dist && b[i].mid.x==b[i+1].mid.x && b[i].mid.y==b[i+1].mid.y && i<=cnt)
        {
            i++;
        }
        r[num]=i;
    }

    Deal();
    printf("%lld",Ans/2);

}